Monte
sua
prova

a)

A área da base é (16 – 2x)(20 – 2x) cm2, ou seja, 4(8 – x)(10 – x) cm2. Como a altura é x cm, o volume da caixa é dado por 4x(8 – x)(10 – x) cm3, com 0<x<8.

Resposta: 4x(8 – x)(10 – x) cm3.

b) De , tem-se:

Por uma pesquisa de raízes racionais, pode-se concluir que 2 é um zero do polinômio.

Os zeros de x2 – 16x + 48 são 4 e 12.

Logo, 

Com a condição 0<x<8, conclui-se que o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm3 se, e somente se, 

Resposta: [2, 4].

Sejam P_A(x) e P_B(x) os preços a serem pagos na entrega realizada pela empresa A e pela empresa B, respectivamente, no transporte de x quilos de mercadoria.

a) Do enunciado, vem que P_A(x) = 4x + 30.

b) Do enunciado, tem-se .

a) Sendo q, q>0 a razão da PG, tem-se:  Assim, a soma dos 6 primeiros termos (S₆) dessa PG é dada por  Resposta: 1820

b) Note-se inicialmente que os números inteiros positivos menores do que 112 que são múltiplos de 4 formam a PA de razão 4 (4, 8, ..., 108) Sendo n o número de termos dessa PA, tem-se  A soma S dos termos dessa PA é  A soma pedida T é dada pela diferença entre a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e S, nesta ordem. Desse modo

Resposta: 4704

c) Sendo S_n = n(2n + 1), o vigésimo termo (a₂₀) é dado por:

Resposta: 79

Do enunciado vem:

a) Promoção I: 2C + 1L + 1N = 86

Promoção II: 3C + 3L + 3N = 174

Promoção III: 3C + 2L + 2N = 142

Portanto, o sistema será da forma:

b) Considerando apenas as promoções II e III, têm-se as seguintes equações:

Promoção II: 3C + 3L + 3N = 174

Promoção III: 3C + 2L + 2N = 142

Subtraindo a equação da promoção III da equação da promoção II, tem-se:

Logo, a soma dos preços de uma caixa de lápis de cor e um conjunto de canetas é R$ 32,00.

c) Considerando L + N = K, têm-se as seguintes equações:

Promoção I: 2C + K = 86

Promoção II: 3C + 3K = 174

Promoção III: 3C + 2K = 142

Do enunciado, é necessário que C>K e que o valor do caderno de capa dura seja igual em apenas duas promoções. Logo, existem 3 cenários possíveis para essa igualdade:

1) Promoção I e promoção II:

2) Promoção I e promoção III:

3) Promoção II e promoção III:

Como C>K apenas no segundo cenário, onde C = 30 e K = 26, o caderno de capa dura terá o mesmo preço nas promoções I e III.

Habilidade avaliada: Identificar os números naturais, reconhecer que o zero é o menor número natural par, identificar um número ímpar em um intervalo de números naturais e reconhecer o valor posicional dos algarismos no sistema decimal indo-arábico.

Essa questão se relaciona à habilidade EF06MA01 da BNCC: Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

Respostas:

a) 0.

b) 13.

c) 6.

Espera-se que os alunos reconheçam que a sequência de números naturais é composta de números pares sucedidos alternadamente por números ímpares. Na questão A, uma resposta diferente pode estar relacionada à ideia de que o zero representa nenhuma quantidade e por isso não pode ser par nem ímpar, um conceito herdado da subtração de quantidades iguais. A reta numérica é um recurso para mostrar que zero é um algarismo e que ocupa uma posição na sequência dos números naturais. É interessante salientar que o zero não era representado em alguns sistemas de numeração antigos e que teve enorme importância no desenvolvimento de outros sistemas, como o dos maias e o indo-arábico que usamos, que permite escrever qualquer número com apenas dez algarismos. Se ocorrer algum caso dessa natureza, retome a sequência dos números naturais, indicando que surgiram com base no processo de contagem progressiva e regressiva.

Na questão B, como a compreensão do conceito de par e ímpar está associada à sequência dos números naturais, conhecimento que já faz parte do repertório dos alunos de anos anteriores, uma eventual resposta equivocada pode estar relacionada à dúvida se os extremos do intervalo enunciado, entre 11 e 15, estão incluídos. Mas atente-se para observar se houve alguma dificuldade para estabelecer o número 13 como par ou ímpar. Se for o caso, lembre os alunos de que números pares representam um agrupamento de duplas de objetos, sem sobrar nenhum.

Na questão C, um equívoco possível é indicar como 5 a quantidade de números que têm o algarismo 1 com valor posicional 10, talvez porque entendam que a resposta correta inclui os números de 10 a 15 e tenham obtido esse valor ao subtrair 10 de 15. Outras respostas possivelmente se devem ao fato de o aluno não associar a expressão valor posicional com o valor do algarismo em cada posição que ocupa no número. Reforce esse conhecimento, separando as ordens e oferecendo novos exemplos e novos desafios para que eles resolvam com segurança.

Habilidade avaliada: comparar números irracionais e estimar a localização na reta numérica.

Essa questão se relaciona à habilidade EF09MA02 da BNCC: Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Resposta: Da esquerda para a direita, a ordem correta de preenchimento dos quadros é: −2√7, −√20, √3, 2√2, π.

Caso os alunos apresentem respostas diferentes da exposta, com equívocos no preenchimento da reta numérica com os números irracionais apresentados, possivelmente, eles estão com dificuldades na comparação dos números irracionais entre si e para identificar as relações de maior ou menor ou, ainda, em organizá-los na reta numérica conforme essas comparações.

Diante dessas dificuldades, é importante retomar as características dos números irracionais, comparando-os com os racionais, de modo que os alunos possam distinguir os números reais entre essas duas categorias. Podem ser propostos outros exemplos ou atividades semelhantes a essa, solicitando aos alunos a comparação entre diferentes números irracionais e a construção da reta numérica. Nesse trabalho, pode ser utilizado como auxílio a calculadora ou o computador, de maneira que os alunos possam identificar, com base nesses equipamentos, aproximações para cada um dos números irracionais considerados, de modo a conferir suas interpretações a respeito desse tema.

Assim, analise as respostas e os registros apresentados pelos alunos e verifique as diferentes respostas, as justificativas e os procedimentos apresentados por eles. Com base nisso, organize atividades de intervenção no sentido de auxiliá-los na superação de suas dificuldades, bem como para reforçar os principais conceitos abordados na questão, podendo utilizar-se de atividades semelhantes ou de outros recursos para sanar as dúvidas e corrigir as possíveis falhas na interpretação dos conceitos.

a) 

Resposta: 17

b) Para cada caso, sendo t_n um número natural, tem-se dois casos a serem estudados.

1o caso: t_{n – 1} = 2t_n

2o caso:

Note que t_{n – 1} é um número natural.

Com t₄ = 10, tem-se t₃ = 20 ou _.

Com t₃ = 20, tem-se t₂ = 40 ou ; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.

Com t₃ = 3, tem-se t₂ = 6 ou ; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.

Com t₂ = 40, tem-se t₁ = 80 ou .

Com t₂ = 6, tem-se t₁ = 12 ou ; esse último resultado é descartado, por não ser um número natural.

Assim, tem-se as sequências:

(13, 40, 20, 10),

(80, 40, 20, 10) e

(12, 6, 3, 10).

Resposta: 13, 80 e 12

c) 

Note que, a partir do 9o termo, repete-se a subsequência 4, 2, 1.

2022 = 8 + 3 ⋅ 671 + 1

Logo, t₂₀₂₂ = 4 (o primeiro termo da subsequência 4, 2, 1).

O enunciado ilustra um móbile básico como sendo composto por apenas um triângulo e dois círculos. Dessa forma, não é imediato entender como a Figura 2 é composta por mais de um móbile básico, já que apresenta apenas um triângulo.

Para poder resolver a questão, é necessário inferir, a partir do exemplo da Figura 2 e da comparação com a situação física, algumas outras regras.

Para entender o exemplo da Figura 2, considere o seguinte móbile básico inicial:

Se adicionássemos outro móbile básico abaixo do círculo da direita, o equilíbrio do móbile inicial seria perturbado, já que o “peso” sustentado pelo braço direito do móbile inicial seria maior que 5. Dessa forma, para se pendurar outro móbile, é necessário que uma parte do “peso” 5 seja utilizada para os círculos do novo móbile.

Assim, podemos entender a bifurcação abaixo do círculo de “peso” 3 na Figura 2 da seguinte forma:

Para que o equilíbrio seja mantido, devemos ter  e . Na Figura 2, foi escolhido o valor , de modo que devemos ter  e, portanto, .

Apesar de essa, interpretação não ficar clara de maneira textual no enunciado, ela tem significado físico (a ideia de manter o equilíbrio do móbile).

Feitas as observações, vamos prosseguir com a resolução da questão.

a) Veja a figura a seguir, modificada de acordo com as observações feitas anteriormente.

Começando pelo móbile básico mais inferior à esquerda, temos:

Agora, vamos preencher os “pesos” das demais formas geométricas. Considerando que os dois círculos mais inferiores à direita devem ter o mesmo “peso” para manter o equilíbrio, podemos preencher a figura:

Assim, devemos ter , ou seja,  e, portanto, . Voltando à forma como a figura foi apresentada na folha de respostas, chegamos a:

b) Veja a figura a seguir, em que os “pesos” foram representados pelas letras  e :

Pelas observações feitas anteriormente, devemos ter:

Dessa forma:

c) Veja a figura a seguir, modificada de acordo com as observações feitas anteriormente.

Considerando o móbile superior, temos:

Resolvendo esse sistema, obtemos  e .

Considerando o móbile mais inferior à esquerda:

Como , podemos resolver o sistema anterior, obtendo  e .

Por fim, considerando o móbile mais inferior à direita:

Como , resolvendo o sistema, obtemos  e .

Voltando à forma como a figura foi apresentada na folha de respostas, chegamos a:

a)

24 + 27 + 30 = 81 81 é múltiplo de 9

b)

Resposta: 54

c) Sendo S_n a soma dos elementos da enésima coluna, a sequência S₁, S₂, S₃, ..., S_n é uma progressão aritmética de razão n. Tem-se: A soma de todos os termos é dada por:

a) Como EF = 40 e AF = 50, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo AEF, obtém-se AE = 30 e, com isso, a área da região I vale .

b) Como  (caso HC), tem-se que a área da região III também vale 600 m2. A área da região II pode ser obtida subtraindo, da área do retângulo DEFG, as áreas dos triângulos AEF, AFC, BDH e DHG. Assim, tem-se que a área da região II vale .

c) A região que não é vigiada por câmera alguma é a união das regiões delimitadas pelos triângulos AFC e BDH, cuja área vale . Assim, a porcentagem pedida é dada por .

Habilidade avaliada: Identificar, em um grupo de frações, aquelas que são decimais.

Essa questão se relaciona às seguintes habilidades da BNCC:

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

Resposta: Alternativa C.

Alunos que optaram pelas alternativas A ou D, provavelmente, não reconhecem a fração decimal como aquela cujo denominador é 10, 100, 1000,..., ou então consideraram as frações equivalentes a essas, obtendo um denominador múltiplo de 10. Como as alternativas A e D incluem frações decimais (), é importante verificar se a escolha foi aleatória ou se houve realmente esse equívoco. Nesse caso, reforce o conceito de fração decimal, salientando que frações decimais podem ser representadas por números na forma decimal, por exemplo, . Considere também, nesses casos, a possibilidade de uma resposta incorreta resultante de uma leitura equivocada do enunciado, não levando em consideração a restrição. Nesse caso, oriente os alunos a lerem com atenção o enunciado e frisar os termos restritivos.

Alunos que consideraram a alternativa B como correta, provavelmente, confundiram o conceito de fração decimal ou confundiram numerador e denominador. Procure determinar qual das duas possibilidades ocorreu e retome o conceito de fração e sua representação e o significado de fração decimal. Em todos os casos, apresente questões similares para certificar-se de que entenderam.

Habilidade avaliada: construir ângulos e bissetrizes usando os instrumentos de desenho — régua, transferidor e compasso.

Essa questão se relaciona à habilidade EF05MA15 da BNCC: construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

Resposta: Espera-se que o aluno construa os ângulos indicados e a respectiva bissetriz se valendo dos instrumentos sugeridos.

a) 40°, com a bissetriz formando dois ângulos de 20° cada.

b) 70°, com a bissetriz formando dois ângulos de 35° cada.

c) 110°, com a bissetriz formando dois ângulos de 55° cada

d) 160°, com a bissetriz formando dois ângulos de 80° cada.

Embora os ângulos possam ter sido construídos em diferentes posições, a abertura deve ser indicada em cada item.

Caso o aluno realize construções equivocadas ou apresente dificuldades durante o processo de construção, possivelmente está com dificuldade na manipulação dos instrumentos e/ou em relação à definição ou construção de ângulos ou bissetrizes.

Para auxiliar no manejo das ferramentas, é importante propor outras atividades práticas que estimulem o uso da régua e do compasso, bem como retomar a forma de manuseio desses instrumentos de forma correta.

Os conceitos de ângulos e bissetrizes podem ser recuperados por meio de representações na lousa. Outra possibilidade é usar materiais concretos para evidenciar o que são ângulos e bissetrizes partindo da construção e da dobradura de figuras planas utilizando diferentes materiais, como cartolinas, papéis com diferentes gramaturas, entre outros.